Die meeste mense wat nie wiskunde bestudeer het nie, glo dat wiskunde 'n statiese bouwerk van waarheid is. Die algemene persepsie is dat wiskundige simbole idees verteenwoordig, en daar is logiese reëls wat gebruik kan word om nuwe idees te skep: bewyse van stellings genoem. Mense beskou die stellings en die idees wat hulle verteenwoordig as 'n prentjie van die wêreld wat voorspelbaar en bekend is. Wat die meeste mense blykbaar keer om hierdie dieper kennis na te streef, is dat dit regtig moeilik is. En werklik vervelig, nè?
Oor die afgelope paar jaar het hierdie statiese siening van wiskunde gemanifesteer as 'n afhanklikheid van modelle. Dit was werklike wiskundige modelle, soos om die aantal infeksies te voorspel en hoe die virus kan versprei, en ook meer algemene denkmodelle, soos om geheel en al op die wetenskap staat te maak om te bepaal hoe ons almal moet optree – Moet ons in kwarantyn gaan? Moet ons maskers dra? Moet ons ses voet uitmekaar bly?
Hierdie standpunt hou vas aan die idee dat die waarheid wat ons soek fundamenteel bepaal word deur 'n natuurlike wêreld wat rasioneel, meganisties en voorspelbaar is.
Natuurlik, as individue het ons sielkundige beperkings wat ons verhinder om die waarheid heeltemal objektief te sien. In sy uitstekende boek 12 Reëls vir die lewe Jordan Peterson bespreek hoe ons persepsies altyd gefokus is, en hoe ons die meeste van wat die wêreld vir ons wys, mis. Hy haal sielkundige studies aan om sy punt te bewys, en illustreer hoe hierdie waarneming baie oud is, en genoem word as die Maya in die antieke Hindoe-Vediese tekste.
Ons het dus 'n sielkundige beperking wat ons verhoed om alles in die wêreld te sien, en slegs 'n eng, gefokusde siening toelaat wat gedeeltelik deur ons begeertes gedryf word. Dit is net so waar vir wetenskaplikes en beleidmakers as vir mense in ander strewes.
Die belofte van wetenskap is natuurlik om hierdie probleem te omseil. Daar is hierdie metode, 'n manier om eksperimente noukeurig te definieer, sodat hierdie objektiewe waarheid met ander gedeel kan word en ons tot 'n gemeenskaplike begrip van die wêreld rondom ons kan kom. Die hoogtepunt van wetenskap is hierdie geloof in die rasionele, dat modelle die basis van objektiewe werklikheid vorm. Maar selfs wetenskap het sy beperkings in die waarheid wat dit kan bied.
As jy diep in die wetenskap delf, kom jy by wiskunde uit. Dit vorm sekerlik die basis van logiese denke, en wiskundige waarhede is volledig.
Wat die meeste mense nie weet nie, tensy jy wiskunde op 'n nagraadse vlak studeer, is dat die fondament van wiskunde nie so stabiel is soos jy dink nie, en dat die idee van wat bewys kan word of nie, nie so eenvoudig is nie. Wiskundige onthullings byna 'n eeu gelede het die meganistiese siening van die wêreld omvergewerp.
Voor die draai van die 20ste eeu was baie van die slimste wiskundiges gefokus op die verstaan van die fondamente daarvan. Vir 'n wiskundige is die fondamente daardie basiese elemente van begrip wat as boustene vir alles anders dien. Uit die fondamente volg alles anders.
Bertrand Russell, 'n logikus en filosoof uit hierdie tydperk, het saam met wiskundige-filosoof Alfred North Whitehead gewerk om wiskunde uit eerste beginsels te konstrueer. Saam het hulle 'n reuse-werk gelewer wat beskryf hoe alle wiskunde uit 'n paar basiese idees en reëls gegenereer kan word. Die driedelige boek, wat tussen 1910 en 1913 gepubliseer is, is genoem Principia Mathematica.
Om jou 'n idee te gee van die abstraktheid van hierdie strewe, begin dit deur te begin met 'n fundamentele waarheid van ons menslike persepsie. Dit stel dat ons in wese weet hoe om een voorwerp van 'n ander te skei, en dan kan ons daardie voorwerpe begin groepeer.
So begin dit: die eerste stel is dié van niksheid. (Regtig!) Maar die idee van niks is iets. As ons die versameling identifiseer wat een ding bevat, daardie niksheid, het ons nou 'n versameling wat groter as niks is, en dit is hoe ons die getal 1 kan definieer. So gaan dit, met reëls gedefinieer vir hoe om van een wiskundige ding na 'n ander te kom, die reëls van logika, wat die hele bekende heelal van wiskunde opbou.
Destyds het die wiskundige gemeenskap dit as 'n fantastiese vooruitgang beskou. Debatte het gewoed oor wat dit vir menslike begrip beteken het. Byvoorbeeld, as alle wiskundige waarheid gegenereer kon word deur basiese beginsels en logiese reëls te gebruik, waarom het ons dan wiskundiges nodig? 'n Rekenaar (sodra dit ontwikkel is) kan blindelings vorentoe beweeg en nuwe stellings uit niks skep. As jy glo dat wiskunde die taal van die natuur is, dan sou dit 'n meganistiese manier bied om al die natuur se geheimenisse te ontbloot.
Die drome van die fundamentele basis vir wiskunde het vir 'n dekade en 'n half geleef totdat hulle vir ewig verydel is deur 'n jong Tsjeggiese wiskundige genaamd Kurt GodelIn 1930 het Gödel 'n bewys gelewer wat eksplisiet toon dat Principia Mathematica was onvolledig. Die kern van wat hy gesê het, is dat binne 'n formele stelsel:
Daar is dinge wat waar is wat nie bewys kan word as waar nie.
Verbasend genoeg het Gödel hierdie bewering bewys deur konstruksieDit beteken dat hy eintlik getoon het dat die gebruik van die reëls van Principia Mathematica Hy kon so 'n stelling skep, een wat waar was, maar wat nie deur die reëls as waar bewys kon word nie. Hoe het hy so iets opgestel?
Hy het die oorkoepelende doel van Principia aangeval met 'n vernuftige nuwe metode in logikaMet elke waarheid het hy 'n getal geassosieer, en met elke logiese reël het hy 'n manier geassosieer om van waarheidsgetalle na ander waarheidsgetalle te kom. Elke stap is ook met 'n getal geassosieer. Toe, deur die getalle teen hulself te gebruik, het hy 'n nuwe getal geskep, wat 'n waarheidsgetal moes wees, maar waarby jy nie met die ander getalle kon uitkom nie.
Dit was hierdie rekursiewe meganisme, waar getalle beide stellings en instruksiestappe was, wat hierdie onthulling geïnspireer het. Hy het dus gevind dat daar 'n getal was wat ooreenstem met 'n stelling wat waar was binne die raamwerk van Principia, maar wat nie met die reëls bewys kon word om waarheidsgetalle te genereer nie.
Met 'n enkele hou het Gödel die jare se werk van Russell en Whitehead vernietig, en talle ander logici wat hierdie Nirvana van fundamentele waarheid gesoek het wat die hele wiskunde, en by uitbreiding, ons begrip van die fisiese heelal, sou opbou.
In wese het hy die krag van logika en getalle teen homself gebruik.
Dit is belangrik.
Ongeag wat jy as wiskundige gedoen het, ongeag watter model jy geskep het, ongeag hoe noukeurig jy die fundamentele aannames en reëls gedefinieer het, jy kon nooit 'n volledige begrip van die onderwerp wat jy probeer bestudeer het, bereik nie.
Gödel se werk bestaan slegs in die gebied van wiskunde. Dit bewys niks in die wetenskaplike of menslike gebied nie, behalwe waar dit met die wiskunde kruis. Maar dit kan werklike besluite in ons lewens beïnvloed.
Ons kry voortdurend idees wat deur die kenners aan ons voorgehou word wat vir ons 'n manier van lewe en glo wys. Hulle is almal modelle, vermoedelik gebaseer op rasionaliteit en logika. Hierdie idees word as 'n allesbepalende doel aangebied. Hulle word aangebied asof daar geen ander waarheid is nie. Gödel het vir ons gewys dat hierdie meganistiese siening van die natuur nie standhou teen die mees basiese ondersoek van logika nie.
Daar is menslike waarhede.
Daar is geestelike waarhede.
Daar is dieper waarhede in die kosmos wat ons nie toegelaat word om te verstaan nie.
Wanneer 'n politikus, of 'n gesaghebbende persoon, of selfs 'n vriend vir jou sê dat alles bekend is, dat daar 'n model is wat die waarheid definieer, en dat deur die model te volg die toekoms bekend sal wees, wees skepties. Daar is geheimenisse buite menslike begrip wat selfs die diepste logiese redenasie van die mens ontglip.
En dit is bewys, deur 'n man.
-
Alan Lash is 'n sagteware-ontwikkelaar van Noord-Kalifornië, met 'n meestersgraad in fisika en 'n PhD in wiskunde.
Kyk na alle plasings
